GARCH e EWMA 21 de maio de 2010 por David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Compare, contraste e calcule abordagens paramétricas e não paramétricas para estimar a volatilidade condicional 8230 Incluindo: ABORDAGEM GARCH Incluindo: LISO EXPONENCIAL (EWMA) Suavização exponencial (paramétrico condicional) Os métodos modernos colocam mais peso na informação recente. Ambos, EWMA e GARCH colocam mais peso em informações recentes. Além disso, como o EWMA é um caso especial do GARCH, tanto EWMA como GARCH empregam o alisamento exponencial. GARCH (p, q) e, em particular, GARCH (1, 1) O GARCH (p, q) é um modelo heterossegativo condicional autoregressivo geral. Os principais aspectos incluem: Autoregressivo (AR). A variância (ou a volatilidade) de amanhã8217s é uma função regredida da variância8282 da atual8217s regressa a si mesma Condicional (C). A variância da dependência8282d de 20008217s está condicionada em8212 a variância mais recente. Uma variância incondicional não dependeria da variância de hoje8217 Heteroskedastic (H). As variâncias não são constantes, elas são ao longo do tempo GARCH regride em 8220lagged8221 ou termos históricos. Os termos atrasados são variância ou retorno ao quadrado. O modelo genérico GARCH (p, q) regride em (p) retornos quadrados e (q) variações. Portanto, GARCH (1, 1) 8220lags8221 ou regride no último período8217s ao quadrado retornado (ou seja, apenas 1 retorno) e a variância do último período8217s (ou seja, apenas 1 variância). GARCH (1, 1) dado pela seguinte equação. A mesma fórmula GARCH (1, 1) pode ser fornecida com parâmetros gregos: Hull escreve a mesma equação de GARCH: O primeiro termo (gVL) é importante porque VL é a variância média de longo prazo. Portanto, (gVL) é um produto: é a variância média ponderada de longo prazo. O modelo GARCH (1, 1) resolve a variância condicional em função de três variáveis (variância anterior, retorno anterior2 e variância de longo prazo): a persistência é uma característica incorporada no modelo GARCH. Dica: nas fórmulas acima, a persistência é (b c) ou (alpha-1 beta). Persistência refere-se a quão rápido (ou lentamente) a variância reverte ou 8220decays8221 em direção à sua média de longo prazo. A alta persistência equivale a uma decadência lenta e uma redução lenta de 8220 para a baixa persistência média8221 equivale a uma rápida deterioração e uma rápida reversão de 8220 para a média.8221 Uma persistência de 1,0 implica que não há reversão média. Uma persistência de menos de 1,0 implica uma reversão para a média, 8221, onde uma menor persistência implica uma maior reversão da média. Dica: como acima, a soma dos pesos atribuídos à variância retardada e ao retardo quadrado retardado é a persistência (persistência bc). Uma alta persistência (maior do que zero, mas inferior a uma) implica reversão lenta na média. Mas se os pesos atribuídos à variância retardada e ao retardo quadrado retardado forem superiores a um, o modelo não é estacionário. Se (bc) for maior que 1 (se bc gt 1) o modelo não é estacionário e, de acordo com Hull, instável. Nesse caso, a EWMA é preferida. Linda Allen diz sobre GARCH (1, 1): GARCH é 8220compact8221 (ou seja, relativamente simples) e notavelmente preciso. Os modelos GARCH predominam na pesquisa acadêmica. Muitas variações do modelo GARCH foram tentadas, mas poucos melhoraram no original. A desvantagem do modelo GARCH é o seu sic de não-linearidade Por exemplo: Resolva a variância de longo prazo em GARCH (1,1) Considere a equação GARCH (1, 1) abaixo: suponha que: o parâmetro alfa 0.2, o parâmetro beta 0.7, E note que omega é 0,2, mas erro don8217t omega (0,2) para a variância de longo prazo Omega é o produto da gama e da variância de longo prazo. Então, se alpha beta 0.9, então a gama deve ser 0.1. Dado que omega é de 0,2, sabemos que a variância de longo prazo deve ser 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): A diferença de notação entre Hull e Allen EWMA é um caso especial de GARCH (1,1) e GARCH (1,1) é um caso generalizado de EWMA. A diferença saliente é que o GARCH inclui o termo adicional para a reversão média e o EWMA não possui uma reversão média. Aqui é como obtemos de GARCH (1,1) para EWMA: então, deixamos um 0 e (bc) 1, de modo que a equação acima se simplifique: Isso agora é equivalente à fórmula para média móvel ponderada exponencialmente (EWMA): Em EWMA, o parâmetro lambda agora determina o 8220decay: 8221 um lambda que é próximo a um (lambda alta) exibe decadência lenta. O RiskMetricsTM Approach RiskMetrics é uma forma de marca da abordagem da média móvel ponderada exponencialmente (EWMA): A lambda ótima (teórica) varia de classe de ativos, mas o parâmetro ótimo geral usado pelo RiskMetrics foi de 0,94. Na prática, o RiskMetrics usa apenas um fator de decaimento para todas as séries: 183 0,94 para dados diários 183 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Tecnicamente, os modelos diários e mensais são inconsistentes. No entanto, ambos são fáceis de usar, eles aproximam bastante o comportamento dos dados reais e são robustos à falta de especificação. Nota: GARCH (1, 1), EWMA e RiskMetrics são cada um paramétrico e recursivo. EWMA Recursiva Vantagens e desvantagens do MA (ie STDEV) vs GARCH Resumo gráfico dos métodos paramétricos que atribuem mais peso aos retornos recentes (GARCH amp EWMA) Resumo Dicas: GARCH (1, 1) é generalizado RiskMetrics e, inversamente, RiskMetrics é Caso restrito de GARCH (1,1) onde a 0 e (bc) 1. GARCH (1, 1) é dado por: Os três parâmetros são pesos e, portanto, devem somar para um: Dica: tenha cuidado com o primeiro termo no Equação GARCH (1, 1): omega () gamma () (variância média de longo prazo). Se você for solicitado a variação, você precisará dividir o peso para calcular a variância média. Determine quando e se um modelo GARCH ou EWMA deve ser usado na estimativa de volatilidade. Na prática, as taxas de variância tendem a ser reversas médias, portanto, o modelo GARCH (1, 1) é teoricamente superior (8220 mais atraente do que 8221) ao modelo EWMA. Lembre-se, que a diferença é grande: o GARCH adiciona o parâmetro que pesa a média de longo prazo e, portanto, incorpora reversão média. Dica: GARCH (1, 1) é preferido a menos que o primeiro parâmetro seja negativo (o que está implícito se alpha beta gt 1). Nesse caso, o GARCH (1,1) é instável e o EWMA é preferido. Explique como as estimativas do GARCH podem fornecer previsões mais precisas. A média móvel calcula a variância com base em uma janela de observação posterior, p. ex. Nos dez dias anteriores, nos 100 dias anteriores. Existem dois problemas com a média móvel (MA): característica de fantasma: os choques de volatilidade (aumento súbito) são incorporados abruptamente na métrica MA e, quando a janela de fuga passa, eles são retirados abruptamente do cálculo. Devido a isso, a métrica MA mudará em relação ao comprimento da janela escolhida. A informação da tendência não está incorporada. As estimativas do GARCH melhoram essas fraquezas de duas maneiras: as observações mais recentes recebem pesos maiores. Isso supera o fantasma porque um choque de volatilidade impactará imediatamente a estimativa, mas sua influência desaparecerá gradualmente com o passar do tempo. Um termo é adicionado para incorporar reversão à média. Explicar como a persistência está relacionada à reversão da média. Dada a equação GARCH (1, 1): Persistência é dada por: GARCH (1, 1) é instável se a persistência gt 1. Uma persistência de 1.0 indica que não há reversão média. Uma baixa persistência (por exemplo, 0,6) indica decadência rápida e alta reversão para a média. Dica: GARCH (1, 1) tem três pesos atribuídos a três fatores. Persistência é a soma dos pesos atribuídos tanto à variância retardada quanto ao retorno quadrado retardado. O outro peso é atribuído à variância de longo prazo. Se a persistência de P e o peso de G atribuídos à variância de longo prazo, então PG 1. Portanto, se P (persistência) for alto, G (reversão média) é baixa: a série persistente não é fortemente significante ao reverter, exibe uma descida de 8220s de baixa8221 em direção ao significar. Se P é baixo, então G deve ser alto: a série impassível significa fortemente reverter exibe 8220rapid decay8221 em direção à média. A variância média e incondicional no modelo GARCH (1, 1) é dada por: Explicar como o EWMA sistematicamente descontos dados mais antigos e identificar os fatores de degradação diária e mensal RiskMetrics174. A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) é dada por: A fórmula acima é uma simplificação recursiva da série EWMA 8220true8221 que é dada por: Na série EWMA, cada peso atribuído aos retornos quadrados é uma relação constante do peso anterior. Especificamente, lambda (l) é a proporção entre os pesos vizinhos. Desta forma, dados mais antigos são sistematicamente descontados. O desconto sistemático pode ser gradual (lento) ou abrupto, dependendo de lambda. Se lambda for alta (por exemplo, 0,99), o desconto é muito gradual. Se lambda for baixa (por exemplo, 0,7), o desconto é mais abrupto. Os fatores de decaimento do RiskMetrics TM: 0,94 para dados diários 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Explique por que as correlações de previsão podem ser mais importantes do que as volatilidades de previsão. Ao medir o risco do portfólio, as correlações podem ser mais importantes do que a variabilidade individual da volatilidade do instrumento. Portanto, em relação ao risco de carteira, uma previsão de correlação pode ser mais importante do que as previsões de volatilidade individual. Use GARCH (1, 1) para prever a volatilidade A taxa de variação futura esperada, em (t) períodos para frente, é dada por: Por exemplo, suponha que uma estimativa de volatilidade atual (período n) é dada pelo seguinte GARCH (1, 1 ): Neste exemplo, alfa é o peso (0,1) atribuído ao retorno ao quadrado anterior (o retorno anterior foi 4), beta é o peso (0,7) atribuído à variância anterior (0,0016). Qual é a volatilidade futura esperada, em dez dias (n 10) Primeiro, resolva a variância a longo prazo. Não é 0.00008 este termo é o produto da variância e do seu peso. Uma vez que o peso deve ser 0,2 (1 - 0,1 -0,7), a variância de longo prazo 0,0004. Segundo, precisamos da variância atual (período n). Isso é quase dado a nós acima: agora podemos aplicar a fórmula para resolver a taxa de variação futura esperada: Esta é a taxa de variação esperada, então a volatilidade esperada é de aproximadamente 2,24. Observe como isso funciona: a volatilidade atual é de cerca de 3,69 e a volatilidade de longo prazo é de 2. A projeção para frente de 10 dias 8220fades8221 a taxa atual mais próxima da taxa de longo prazo. Volatilidade não paramétrica ForecastingExploring A volatilidade média móvel ponderada exponencialmente é a medida mais comum de risco, mas vem em vários sabores. Em um artigo anterior, mostramos como calcular a volatilidade histórica simples. (Para ler este artigo, consulte Usando a volatilidade para avaliar o risco futuro.) Usamos os dados atuais do preço das ações da Googles para calcular a volatilidade diária com base em 30 dias de estoque de dados. Neste artigo, melhoraremos a volatilidade simples e discutiremos a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA). Vs históricos. Volatilidade implícita Primeiro, vamos colocar essa métrica em um pouco de perspectiva. Existem duas abordagens amplas: volatilidade histórica e implícita (ou implícita). A abordagem histórica pressupõe que o passado é o prólogo que medimos a história na esperança de que seja preditivo. A volatilidade implícita, por outro lado, ignora o histórico que resolve para a volatilidade implícita nos preços de mercado. Espera que o mercado conheça melhor e que o preço de mercado contenha, mesmo que de forma implícita, uma estimativa consensual da volatilidade. (Para leitura relacionada, veja Os Usos e Limites de Volatilidade.) Se nos concentrarmos apenas nas três abordagens históricas (à esquerda acima), eles têm dois passos em comum: Calcule a série de retornos periódicos. Aplica um esquema de ponderação. Primeiro, nós Calcule o retorno periódico. Isso geralmente é uma série de retornos diários, em que cada retorno é expresso em termos compostos continuamente. Para cada dia, tomamos o log natural da proporção dos preços das ações (ou seja, preço hoje dividido por preço ontem, e assim por diante). Isso produz uma série de retornos diários, de u i to u i-m. Dependendo de quantos dias (m dias) estamos medindo. Isso nos leva ao segundo passo: é aqui que as três abordagens diferem. No artigo anterior (Usando a volatilidade para avaliar o risco futuro), mostramos que, sob um par de simplificações aceitáveis, a variância simples é a média dos retornos quadrados: Observe que isso resume cada um dos retornos periódicos, então divide esse total pelo Número de dias ou observações (m). Então, é realmente apenas uma média dos retornos periódicos ao quadrado. Dito de outra forma, cada retorno quadrado recebe um peso igual. Então, se o alfa (a) é um fator de ponderação (especificamente, um 1m), então uma variância simples parece algo assim: O EWMA melhora a diferença simples. A fraqueza dessa abordagem é que todos os retornos ganham o mesmo peso. O retorno de ontem (muito recente) não tem mais influência na variação do que o retorno dos últimos meses. Esse problema é corrigido usando a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA), na qual os retornos mais recentes têm maior peso na variância. A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) apresenta lambda. Que é chamado de parâmetro de suavização. Lambda deve ser inferior a um. Sob essa condição, em vez de pesos iguais, cada retorno ao quadrado é ponderado por um multiplicador da seguinte forma: por exemplo, RiskMetrics TM, uma empresa de gerenciamento de risco financeiro, tende a usar uma lambda de 0,94 ou 94. Neste caso, o primeiro ( Mais recente) o retorno periódico ao quadrado é ponderado por (1-0.94) (. 94) 0 6. O próximo retorno ao quadrado é simplesmente um múltiplo lambda do peso anterior neste caso 6 multiplicado por 94 5,64. E o terceiro dia anterior é igual (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Esse é o significado de exponencial em EWMA: cada peso é um multiplicador constante (isto é, lambda, que deve ser inferior a um) do peso dos dias anteriores. Isso garante uma variação ponderada ou tendenciosa em relação a dados mais recentes. (Para saber mais, confira a Planilha do Excel para a Volatilidade dos Googles.) A diferença entre a simples volatilidade e o EWMA para o Google é mostrada abaixo. A volatilidade simples efetivamente pesa cada retorno periódico em 0.196 como mostrado na Coluna O (tivemos dois anos de dados diários de preço das ações. Isso é 509 devoluções diárias e 1509 0.196). Mas observe que a coluna P atribui um peso de 6, então 5.64, depois 5.3 e assim por diante. Essa é a única diferença entre variância simples e EWMA. Lembre-se: depois de somar toda a série (na coluna Q), temos a variância, que é o quadrado do desvio padrão. Se queremos volatilidade, precisamos lembrar de assumir a raiz quadrada dessa variância. Qual é a diferença na volatilidade diária entre a variância e EWMA no caso do Googles. É significativo: a variância simples nos deu uma volatilidade diária de 2,4, mas a EWMA deu uma volatilidade diária de apenas 1,4 (veja a planilha para obter detalhes). Aparentemente, a volatilidade de Googles estabeleceu-se mais recentemente, portanto, uma variação simples pode ser artificialmente alta. A diferença de hoje é uma função da diferença de dias de Pior. Você notará que precisamos calcular uma série longa de pesos exponencialmente decrescentes. Nós não vamos fazer a matemática aqui, mas uma das melhores características do EWMA é que a série inteira se reduz convenientemente a uma fórmula recursiva: Recursiva significa que as referências de variância de hoje (ou seja, são uma função da variância dos dias anteriores). Você também pode encontrar esta fórmula na planilha e produz exatamente o mesmo resultado que o cálculo de longitude. Diz: A variação de hoje (sob EWMA) é igual a variação de ontem (ponderada por lambda) mais retorno de ônibus quadrado (pesado por um menos lambda). Observe como estamos apenas adicionando dois termos em conjunto: variância ponderada de ontem e atraso de ontem, retorno quadrado. Mesmo assim, lambda é o nosso parâmetro de suavização. Um lambda mais alto (por exemplo, como RiskMetrics 94) indica decadência mais lenta na série - em termos relativos, teremos mais pontos de dados na série e eles vão cair mais devagar. Por outro lado, se reduzirmos a lambda, indicamos maior deterioração: os pesos caem mais rapidamente e, como resultado direto da rápida deterioração, são usados menos pontos de dados. (Na planilha, lambda é uma entrada, para que você possa experimentar sua sensibilidade). Resumo A volatilidade é o desvio padrão instantâneo de um estoque e a métrica de risco mais comum. É também a raiz quadrada da variância. Podemos medir a variância historicamente ou implicitamente (volatilidade implícita). Ao medir historicamente, o método mais fácil é a variância simples. Mas a fraqueza com variação simples é que todos os retornos recebem o mesmo peso. Então, enfrentamos um trade-off clássico: sempre queremos mais dados, mas quanto mais dados temos, mais nosso cálculo será diluído por dados distantes (menos relevantes). A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) melhora a variação simples ao atribuir pesos aos retornos periódicos. Ao fazer isso, podemos usar um grande tamanho de amostra, mas também dar maior peso aos retornos mais recentes. (Para ver um tutorial de filme sobre este tópico, visite a Tartaruga Bionica.) A abordagem EWMA possui um recurso atraente: requer relativamente poucos dados armazenados. Para atualizar nossa estimativa em qualquer ponto, precisamos apenas de uma estimativa prévia da taxa de variância e do valor de observação mais recente. Um objetivo secundário da EWMA é rastrear mudanças na volatilidade. Para valores pequenos, as observações recentes afetam a estimativa prontamente. Para valores mais próximos de um, a estimativa muda lentamente com base nas mudanças recentes nos retornos da variável subjacente. O banco de dados RiskMetrics (produzido por JP Morgan e disponibilizado) usa o EWMA para atualizar a volatilidade diária. IMPORTANTE: a fórmula EWMA não assume um nível de variância médio de longo prazo. Assim, o conceito de volatilidade significa reversão não é capturado pelo EWMA. Os modelos ARCHGARCH são mais adequados para esse fim. Um objetivo secundário da EWMA é acompanhar as mudanças na volatilidade, portanto, para valores pequenos, a observação recente afeta a estimativa prontamente e, para os valores mais próximos de uma, a estimativa muda lentamente para as mudanças recentes nos retornos da variável subjacente. O banco de dados RiskMetrics (produzido por JP Morgan) e disponibilizado em 1994, usa o modelo EWMA para atualizar a estimativa de volatilidade diária. A empresa descobriu que, em uma variedade de variáveis de mercado, esse valor dá uma previsão da variância que se aproxima da taxa de variância realizada. As taxas de variação realizadas em um determinado dia foram calculadas como uma média igualmente ponderada nos 25 dias subseqüentes. Da mesma forma, para calcular o valor ótimo de lambda para o nosso conjunto de dados, precisamos calcular a volatilidade realizada em cada ponto. Existem vários métodos, então escolha um. Em seguida, calcule a soma de erros quadrados (SSE) entre a estimativa EWMA e a volatilidade realizada. Finalmente, minimize o SSE variando o valor lambda. Soa simples é. O maior desafio é concordar com um algoritmo para calcular a volatilidade realizada. Por exemplo, as pessoas da RiskMetrics escolheram os 25 dias subseqüentes para calcular a taxa de variação realizada. No seu caso, você pode escolher um algoritmo que utilize preços diários, HILO e OPEN-CLOSE. Q 1: podemos usar o EWMA para estimar (ou prever) a volatilidade mais de um passo à frente A representação da volatilidade do EWMA não assume uma volatilidade média de longo prazo e, portanto, para qualquer horizonte de previsão além de um passo, o EWMA retorna uma constante valor:
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